小学数学9大重点难点知识汇总！（百分数、正反比例、图形、素数、合数、奇数、偶数）……

百分数

【税率、利息、折扣、成数】

一、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。

百分数也叫百分率或百分比，百分数通常用“%”表示。

二、分数与百分数比较：

	不同点	相同点
分数	可以表示具体数量，可以有单位名称	表示两个数之间的关系
百分数	不可以表示具体数量，不可以有单位名称	表示两个数之间的关系

三、分数、小数、百分数的互化。

（1）把分数化成小数，用分数的分子除以分母。

（2）把小数化成分数，先改写成分母是10、100、1000……的分数，再约分。

（3）把小数化成百分数，先把小数点向右移动两位，然后添上百分号。

（4）把百分数化成小数，先去掉百分号，然后把小数点向左移动两位。

（5）把分数化成百分数，先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

（6）把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

四、熟记常用三数的互化。

五、

1、出勤率表示出勤人数占总人数的百分之几。

2、合格率表示合格件数占总件数的百分之几。

3、成活率表示成活棵数占总棵数的百分之几。

六、求一个数比另一个数多百分之几，就是求一个数比另一个数多的占另一个数的百分之几。

七、

1、多的÷“1”=多百分之几

2、少的÷“1”= 少百分之几

八、应得利息是税前利息，实得利息是税后利息。

九、利息 = 本金 × 利率 × 时间

十、应得利息－利息税 = 实得利息

十一、几折表示十分之几，表示百分之几十；几几折表示十分之几点几，表示百分之几十几。

十二、

1、原价×折扣=现价

2、现价÷原价=折扣

3、现价÷折扣=原价

十三、几成表示十分之几表示百分之几十；几成几表示十分之几点几，表示百分之几十几。

因数与倍数

【素数、合数、奇数、偶数】

一、4 × 3 = 12，12是4的倍数，12也是3的倍数，4和3都是12的因数。

二、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。

三、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数因数的个数是有限的。

四、

5的倍数：个位上的数是5或0。

2的倍数：个位上的数是2、4、6、8或0。2的倍数都是双数。

3的倍数：各位上数的和一定是3的倍数。

五、是2的倍数的数叫做偶数。不是2的倍数的数叫做奇数。

六、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做素数（或质数）。

七、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做合数。

八、在1—20这些数中：（1既不是素数，也不是合数）

奇数：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。

偶数：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。

素数：2、3、5、7、11、13、17、19。（共8个，和为77。）

合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（共11个，和为132。）

九、最小的奇数是1，最小的偶数是0，最小的素数是2，最小的合数是4。

十、如果两个数是倍数关系，则大数是最小公倍数，小数是最大公因数。

十一、如果两个数只有公因数1，则最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

数的运算

计算法则

【整数、小数、分数】

一、计算整数加、减法要把相同数位对齐，从低位算起。

二、计算小数加、减法要把小数点对齐，从低位算起。

三、小数乘法：

1、先按整数乘法算出积是多少，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

2、注意：在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用0补足。

小数除法

1、商的小数点要和被除数的小数点对齐；

2、有余数时，要在后面添0，继续往下除；

3、个位不够商1时，要在商的整数部分写0，点上小数点，再继续除。

4、把除数转化成整数时，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位。

5、当被除数的小数位数少于除数的小数位数时，要在被除数的末尾用0补足。

五、一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位……

六、一个小数除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位……

七、分数加、减法：1同分母分数相加减，把分子相加减，分母不变。2异分母分数相加减，要先通分化成同分母分数，然后再相加减。

八、分数大小的比较：1同分母分数相比较，分子大的大，分子小的小。2异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

九、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

十、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

四则运算关系

加法	一个加数 = 和－另一个加数
减法	被减数 = 差 + 减数减数 = 被减数－差
乘法	一个因数 = 积 ÷ 另一个因数
除法	被除数 = 商 × 除数除数 = 被除数 ÷ 商

两个规律

一、除法的商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

二、乘法的积不变规律：如果一个因数乘几，另一个因数则除以几，那么它们的积不变。

简便计算

一、运算定律：

运算定律	用字母表示
加法交换律	a＋b=b＋a
加法结合律	（a＋b）＋c=a＋(b＋c)
乘法交换律	a×b=b×a
乘法结合律	（a×b）×c=a×(b×c)
乘法分配律	（a＋b）×c=a×c＋b×c
减法运算规律	a－b－c=a－（b＋c）
除法运算规律	a÷b÷c=a÷（b×c）

二、乘、除法的互化。（小技巧：符号是相反的；两个数相乘得“1”。）

（1）A÷0.1=A×10

（2）A×0.1=A÷10

（7）A÷0.01=A×100；

（8）A×0.01=A÷100

（3）A÷0.2=A×5

（4）A×0.2=A÷5

（9）A÷0.25=A×4

（10）A×0.25=A÷4

（5）A÷0.5=A×2

（6）A×0.5=A÷2

（11）A÷0.125=A×8

（12）A×0.125=A÷8

三、求近似数的方法。

①四舍五入法。②进一法。 ③去尾法。

四、积与因数、商与被除数的大小比较：

第2个因数>1,积>第1个因数；

第2个因数=1,积=第1个因数；

第2个因数<1,积<第1个因数。

除数>1，商<被除数；

除数=1，商=被除数；

除数<1，商>被除数；

数量关系

单价×数量=总价

总价÷数量=单价

总价÷单价=数量

工作效率×工作时间=工作总量

工作总量÷工作时间=工作效率

工作总量÷工作效率=工作时间

速度×时间=路程

路程÷时间=速度

路程÷速度=时间

速度和×相遇时间=路程

路程÷相遇时间=速度和

路程÷速度和=相遇时间

式与方程

用字母表示数

一、在一个含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，中间的乘号可以记作“· ”，也可以省略不写。

在省略数字与字母之间的乘号时，要把数字写在字母的前面。

二、2a与a2意义不同：

2a表示两个a相加，a2表示两个a相乘。即：2a=a＋a，a2= a×a。

三、用字母表示数：

①用字母表示任意数：如X=4 a=6

②用字母表示常见的数量关系：如s=vt

③用字母表示运算定律：如a＋b=b＋a

④用字母表示计算公式：S=ah

方程与等式

一、含有未知数的等式叫做方程。

二、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

三、求方程的解的过程，叫做解方程。

四、方程和等式的联系与区别：

	方程	等式
联系	方程一定是等式，等式不一定是方程
区别	含有未知数	不一定含有未知数

五、等式的基本性质（一）：

等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，所得结果仍然是等式。

六、等式的基本性质（二）：

等式两边同时乘（或除以）一个不等于零的数，所得结果仍然是等式。

七、列方程解应用题的一般步骤：

①弄清题意，找出未知数并用X表示。

②找出应用题中数量间的相等关系，并列出方程。

③求出方程的解。

④检验或验算，写出答案。

正比例与反比例

比和比例

一、比和比例的联系与区别：

比与比例的区别	1、意义不同	比的意义	两个数相除又叫做两个数的比。
	1、意义不同	比例的意义	表示两个比相等的式子叫做比例。
	2、名称不同	比的名称	两点读作比，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。
	2、名称不同	比例的名称	组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的的外项，中间的两项叫做比例的内项。
	3、性质不同	比的性质	比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变。
	3、性质不同	比例的性质	在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
	4、应用不同	应用比的意义	求比值。
		应用比的性质	化简比。
		应用比例的意义	判断两个不能否组成比例。
		应用比例的性质	不但可以判断两个比能否组成比例，还可以解比例。

二、比同分数、除法的联系与区别：

	比	分数	除法
联系	前项	分子	被除数
	比号	分数线	除号
	后项	分母	除数
	比值	分数值	商
	比的基本性质	分数的基本性质	除法的商不变性质
区别	比表示两个数之间的关系。	分数表示一个数。	除法表示一种运算。

三、求比值与化简比的区别：

	一般方法	结果
求比值	根据比值的意义，用前项除以后项。	是一个数。可以是整数、小数或分数。
化简比	根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘或除以相同的数（零除外）。	是一个比。它的前项和后项都是整数，并且是互质数。

四、化简比：

①整数比的化简方法是：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

②小数比的化简方法是：先把小数比化成整数比，再按整数比化简方法化简。

③分数比的化简方法是：用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。

五、比例尺：我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。

六、比例尺=图上距离︰实际距离比例尺 = 图上距离 / 实际距离

正比例、反比例

一、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。

二、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。

三、正比例与反比例的区别：

正比例

反比例

相同点

都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。

不同点

商一定

y/x= k（一定）

积一定

x×y=k（一定）

图形的认识、测量

量的计量

一、长度单位是用来测量物体的长度的。

常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米。

二、长度单位：

1千米=1000米	1米=10分米
1分米=10厘米	1厘米=10毫米
1米=100厘米	1米=1000毫米

三、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。

常用面积单位：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。

四、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。

边长100米的正方形土地，面积是1公顷。

五、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。

边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。

六、面积单位：（100）

1平方千米=100公顷	1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米	1平方分米=100平方厘米

七、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。

常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。

八、体积单位：（1000）

1立方米=1000立方分米	1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升

九、常用的质量单位有：吨、千克、克。

十、质量单位：

1吨=1000千克

1千克=1000克

十一、常用的时间单位有：

世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。

十二、时间单位：（60）

1世纪=100年	1年=12个月
1年=4个季度	1个季度=3个月
1个月=3旬	大月=31天
小月=30天	平年二月=28天
闰年二月=29天	1天=24小时
1小时=60分	1分=60秒

十三、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。

十四、常用计量单位用字母表示：

千米：km	米：m	分米：dm	厘米：cm	毫米：mm
吨：t	千克：kg	克：g	升：l	毫升：ml

平面图形

【认识、周长、面积】

一、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；

把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；

把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。

线段、射线都是直线上的一部分。

线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。

二、从一点引出两条射线，就组成了一个角。

角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。

角的大小的计量单位是（°）。

三、角的分类：

小于90度的角是锐角；

等于90度的角是直角；

大于90度小于180度的角是钝角；

等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。

四、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。

五、三角形是由三条线段围成的图形。

围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。

六、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。

七、三角形的内角和等于180度。

八、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。

九、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。

十、四边形是由四条边围成的图形。

常见的特殊四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。

十一、圆是一种曲线图形。

圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。

通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。

十二、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。

这条直线叫做对称轴。

十三、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。

十四、物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。

十五、平面图形的面积计算公式推导：

【1】平行四边形面积公式的推导过程？

① 把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。

② 长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。

③ 因为：长方形面积=长×宽，所以：平行四边形面积=底×高。即：S=ah。

【2】三角形面积公式的推导过程？

① 用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

② 平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半

③因为：平行四边形面积=底×高，所以：三角形面积=底×高÷2。即：S=ah÷2。

【3】梯形面积公式的推导过程？

① 用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

② 平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半。

③ 因为：平行四边形面积=底×高，所以：梯形面积=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。

【4】画图说明圆面积公式的推导过程

① 把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。

② 长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。

③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆面积=πr×r=πr²。即：S=πr²。

十六、平面图形的周长和面积计算公式：

长方形周长 =（长+宽）× 2	C = πd
长方形面积 = 长 × 宽	C = 2πr
正方形周长 = 边长 × 4	r= d÷2
正方形面积 = 边长 × 边长	r=C ÷2π
平行四边形面积 = 底 × 高	d=2r
三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2	d=c ÷π

十七、常用数据：

常用π值		常用平方数
2π=6.28	12π=37.68	1²= 1
3π=9.42	15π=47.1	2²=4
4π=12.56	16π=50.24	3²=9
5π=15.70	18π=56.52	4²=16
6π=18.84	20π=62.8	5²=25
7π=21.98	25π= 78.5	6²=36
8π=25.12	32π=100.48	7²=49
9π=28.26	2.25π=7.065	8²=64
10π=31.4	6.25π=19.625	9²=81

立体图形

【认识、表面积、体积】

一、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。正方体是特殊的长方体。

二、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高。

三、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。

四、表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。

五、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。

六、圆柱和圆锥三种关系：

① 等底等高：体积1︰3

② 等底等体积：高1︰3

③ 等高等体积：底面积1︰3

七、等底等高的圆柱和圆锥：

① 圆锥体积是圆柱的1/3，

② 圆柱体积是圆锥的3倍，

③ 圆锥体积比圆柱少2/3，

④ 圆柱体积比圆锥多2倍。

八、等底等高的圆柱和圆锥：锥1、差2、柱3、和4。

九、立体图形公式推导：

【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程）

① 圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。

② 长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。

③ 因为：长方形面积=长×宽，所以：圆柱侧面积=底面周长×高。

④ 圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。

正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。

【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？

① 把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。

② 长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。

③ 因为：长方体体积=底面积×高，所以：圆柱体积=底面积×高。即：V=Sh。

【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？

① 找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。

② 将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发现三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发现三次正好倒完。

③ 通过实验发现：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即：V=1/3Sh。

十、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式：

名称	计算公式
长方体棱长总和	长方体棱长总和 = （长+宽+高）× 4
长方体表面积	长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2
长方体体积	长方体体积=长×宽×高
正方体棱长总和	正方体棱长总和=棱长×12
正方体表面积	正方体表面积=棱长×棱长×6
正方体体积	正方体体积=棱长×棱长×棱长
圆柱体侧面积	圆柱体侧面积=底面周长×高
圆柱体表面积	圆柱体表面积=侧面积+底面积×2
圆柱体体积	圆柱体体积=底面积×高
圆锥体体积	圆锥体体积=Sh

图形与变换

一、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。

二、不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。

三、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。

图形与位置

一、当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、后来描述具体位置。

二、当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东……来描述方向。

再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。

统计

一、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。

二、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。

三、条形统计图的特点：从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。

四、折线统计图的特点：不但能看出各种数量的多少，而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。

五、扇形统计图的特点：表示各部分和总数之间，以及部分与部分之间的关系。

六、中位数、众数、平均数

名称	意义	计算方法
中位数	一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。	中间的一个数或中间两个数的和÷2
众数	一组数中出现次数最多的数。	出现次数最多的数
平均数	反映一组数的总体水平的数据。	平均数=总数÷份数

可能性

一、

事件状态	生活情景	数学情景
一定会发生	太阳从东方升起	从5个红球中摸出一个红球
一定不会发生	鸭子会讲话	从5个红球中摸出一个白球
可能发生	今天会下雨	从5个红球，1个白球中摸出一个白球

二、在可能性相同的情况下，比赛游戏规则是公平的。

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